EL NÚMERO DE VEDERNIKOV
Profesor Emérito de Ingeniería Civil y Ambiental
Universidad Estatal de San Diego, San Diego,
California
1. INTRODUCCIÓN
El número de Vedernikov es uno de los cuatro números adimensionales
en la hidráulica de canales abiertos. Dos de estos números, los números de
Froude y Vedernikov, son relaciones de velocidades; los otros dos,
el número de Reynolds y el número de onda adimensional de
Ponce y Simons, son relaciones de difusividades. Éstos son
los únicos números adimensionales que pueden formularse
con las tres velocidades y las tres difusividades
identificadas por Ponce (1979).
Un artículo reciente
ha arrojado luz adicional sobre estos conceptos fundamentales
(Ponce, 2023a).
Los números de Froude y Reynolds están bien establecidos desde
hace más de un siglo
Ponce (1991a)
ha presentado los números de Froude (F)
y Vedernikov (V)
como esencialmente dos partes de la misma historia, argumentando en forma
convincente a favor de su tratamiento paralelo, algo
que Chow (1959) había omitido. En la hidráulica
de canales abiertos, los dos números constituyen una verdadera
dualidad, porque su relación V/F
es igual
a (β - 1), en el cual β
es el exponente de la curva de gasto
Q = αAβ.
El valor de β es sumamente
importante porque encapsula no sólo los números de Froude
y Vedernikov, sino también la fricción de fondo y
la forma de la sección transversal del canal. Estas proposiciones
serán ahora fundamentadas.
2. EL NÚMERO DE VEDERNIKOV
Para describir apropiadamente el número de Vedernikov, primero definimos
tres velocidades importantes en el flujo en canal abierto: (1) la velocidad
media del flujo permanente u,
El número de Froude se define como F = u/w,
la relación entre la
velocidad media del flujo permanente y la celeridad relativa de
la onda dinámica. El valor del umbral F = 1, denominado flujo crítico,
separa el flujo subcrítico (F < 1) del flujo supercrítico (F > 1).
En un flujo crítico, la propagación de ondas superficiales cortas
cambia de flujo en dirección aguas arriba (F < 1) a flujo aguas
abajo
El número de Vedernikov se define como V = v /w,
la relación entre la celeridad relativa de la onda
cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica.
El valor del umbral V = 1, denominado flujo neutro, o flujo neutralmente
estable, separa el flujo estable (V < 1) del
inestable (V > 1). En flujo neutro, las ondas cinemáticas
y dinámicas viajan con la misma celeridad. En flujo
estable, las ondas dinámicas viajan más rápido que las
ondas cinemáticas. En flujo inestable, las ondas
cinemáticas viajan más rápido que las ondas dinámicas.
La definición del número de Vedernikov, V = v/w,
refleja la
inequívoca competencia entre las ondas cinemáticas y
dinámicas (Ponce, 2023b). A diferencia del número
de Froude, que considera sólo ondas dinámicas, el
número de Vedernikov compara los dos tipos de ondas
y determina que el flujo es estable para V < 1 o
inestable para V > 1. En la práctica de la ingeniería
hidráulica, la inestabilidad del flujo es una condición
necesaria pero no suficiente para
la aparición de ondas de rollo
(Ponce y Choque Guzman, 2019) (Fig. 1).
3. PERSPECTIVA HISTÓRICA
El desarrollo original del concepto se remonta al trabajo
de Vedernikov, traducido de su versión original en el idioma
ruso (Vedernikov, 1945;
1946).
Casi al mismo tiempo, Craya (1945) publicó
un artículo con contenido similar en la
revista francesa La Houille Blanche. Sin embargo,
el artículo de Craya sobre el tema de la inestabilidad
del flujo se publicó en Inglés sólo siete años después (Craya, 1952).
El nombre "número de Vedernikov" como tal
se originó con Powell (1948),
quien afirmó: "Este criterio, al que yo llamo número de Vedernikov..."
El trabajo de Vedernikov, que lamentablemente no era muy
claro en su forma original, fue elucidado por Craya (1952),
quien afirmó inequívocamente que la inestabilidad
del flujo se produce cuando
la celeridad de Seddon (onda cinemática)
excede la celeridad de Lagrange (onda dinámica).
Chow (1959) intentó incluir el concepto de número de Vedernikov
en su famoso libro de texto. Describió el concepto en
términos de las propiedades de fricción y de sección
transversal del canal, haciéndose eco esencialmente
del trabajo de Vedernikov
Casi tres décadas después, el asunto fue aclarado por
Ponce (1991a),
quien simplificó el trabajo original de Vedernikov
expresando el número de Vedernikov, así como el número de Froude,
únicamente en términos de la velocidad media del flujo u y las
celeridades relativas de onda v y w.
Ponce y Simons (1977) han confirmado que F = 2 describe el caso de estabilidad neutral para la friccion de Chezy en canales hidráulicamente anchos. Por lo tanto, F = 2 es equivalente a V = 1. Tomados juntos, los números de Froude y Vedernikov describen todo el comportamiento del flujo no permanente en canales. Su relación (β - 1), debido a su sencillez, convierte a β tal vez en el más importante parámetro en todo el flujo en canales abiertos.
4. EFECTO DE LA FRICCIÓN DE FONDO Y LA SECCIÓN
TRANSVERSAL
Dado que V/F = (β - 1), se puede definir
un número de Froude neutralmente estable como sigue:
La Tabla 1 muestra los valores de β y Fns
para diversas combinaciones de fricción de fondo y sección transversal
(Ponce, 2014).
Se observa que el valor de β varía
en el rango 3 ≥ β ≥ 1, con un valor alto de
β = 3 correspondiente al flujo laminar, y un valor bajo de
β = 1 para el canal inherentemente estable
(Ponce y Porras, 1995).
Por lo tanto, el valor de Fns varía en el rango
0.5 ≤ Fns ≤ ∞, con un valor bajo de
Fns = 0.5 para el flujo laminar,
y un valor alto de Fns = ∞ para el canal inherentemente estable.
5. NÚMERO DE VEDERNIKOV Y DIFUSIVIDAD HIDRÁULICA
El tránsito de inundaciones en canales implica el
cálculo de dos procesos físicos: convección y difusión.
La convección es un proceso de primer orden; la difusión es de segundo orden. La convección se caracteriza por la
velocidad convectiva o celeridad; la difusión se caracteriza
por la difusividad hidráulica del canal. A partir del trabajo
fundamental de Hayami (1951), la fórmula de difusividad
hidráulica ha experimentado un cambio
gradual, a medida que
el tema ha ido madurado con el tiempo. La última
expresión de la difusividad hidráulica, en términos del
número de Vedernikov, se debe a Ponce (1991a).
El Cuadro B narra el desarrollo histórico de la difusividad
hidráulica.
La cuestión de qué tan importante es el número de Vedernikov en el cálculo de la difusividad hidráulica merece una discusión detallada. Hayami (1951) desarrolló un valor aproximado para la difusividad hidráulica, excluyendo la inercia. En el caso de que la inercia sea importante, la ecuación de Dooge de 1973 la tiene en cuenta, pero está limitada a la fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho. Dooge y otros (1982) relajaron este último requisito para canales de cualquier tipo de fricción (laminar, Manning o Chezy) y forma de la sección transversal. Ponce (1991) expresó el componente inercial de la difusividad hidráulica únicamente en términos del número de Vedernikov.
La formulación de Ponce's (1991)
es útil cuando la onda siendo considerada
es realmente una onda mixta cinemático-dinámica, situación que parece ser
muy poco común en la práctica (Ponce, 2023b).
6. DISEÑO DE CANALES ESTABLES
El concepto de número de Vedernikov es muy útil en el
diseño de canales para asegurar la estabilidad hidrodinámica.
El diseño hidráulico del flujo en canales revestidos empinados
requiere una evaluación del número de Vedernikov asociado con el
caudal de diseño. Si el número de Vedernikov calculado excede
la unidad, existe la posibilidad de que se formen ondas de rollo
(Fig. 2). En la literatura en Español también se ha hecho referencia a
estas ondas como ondas "pulsantes", para denotar el hecho de
que invariablemente ocurren como un "tren de ondas de masa"
que viajan canal o río
abajo a altas velocidades, a menudo peligrosas (Lighthill y Whitham, 1955;
Ponce y Choque Guzman, 2019).
El objetivo del diseño debe ser el mantener a las ondas de rollo dentro de los límites establecidos del canal, para el caudal de diseño adoptado o, mejor aún, diseñar la sección transversal del canal para evitar por completo las ondas de rollo. Esto requiere una comprensión profunda de la naturaleza y el comportamiento de las ondas de rollo. Necesariamente, el análisis se basa en la evaluación del exponente de la curva de gasto β (Tabla 1). Para evitar ondas de rollo (Fig. 3), el β de diseño debe ser el valor más bajo posible, acorde con otros criterios de diseño como el costo, la huella geométrica del proyecto y otras consideraciones accesorias.
El rango factible de variación de β es de 1,0 a 1,67 cuando se utiliza la fricción de Manning y de 1,0 a 1,5 para la fricción de Chezy. Para una sección transversal triangular, β = 1,33 para la fricción de Manning y 1,25 para la fricción de Chezy. No es probable que valores de β cercanos a 1,0, pero superiores (por ejemplo, β = 1,04), desarrollen ondas de rollo. La razón es que β condiciona que la celeridad de la onda cinemática sea mayor que la velocidad media del flujo: ck = βu > u. Para valores de β muy superiores a 1, por ejemplo, β = 1,6, se prevé la posibilidad de que se produzcan ondas de rollo. Obsérvese que el parámetro β es el único parámetro de flujo hidráulico de canal abierto capaz de predecir el inicio de un evento de onda de rollo de manera precisa y efectiva.
7. CÁLCULO EN LÍNEA
Aquí describimos un cálculo
of β utilizando
ONLINECHANNEL15B, una herramienta en línea
específicamente diseñada para calcular el valor de
β para un canal prismático de
sección rectangular, triangular, o trapezoidal.
Se presentan dos ejemplos explicados en el Cuadro C.
El objetivo es mostrar la variacion del número
de Vedernikov V con β, confirmando
una vez más la relación directa entre ellos.
En el Ejemplo 1, un canal rectangular, los resultados son: β = 1.58, y V = 1.48, indicando un flujo inestable. Cabe mencionar que el río canalizado Huayñajahuira sufre de eventos recurrentes de ondas de rollo, lo cual ha sido documentado por Ponce y Choque Guzman (2019).
En el Ejemplo 2, un canal trapezoidal, los resultados son: β = 1.35,
y
8. COMENTARIOS FINALES
Se revisa, explica y aclara el concepto del número de Vedernikov
de la hidráulica de canales abiertos. Junto con el número de
Froude, constituyen una dualidad inseparable, más
ahora que su relación con β, el exponente de la curva de gasto
(V/F = β - 1), ha
sido claramente establecida y su utilidad en
el diseño de canales ampliamente demostrada.
El uso de una calculadora en línea para β y V en términos de
variables hidráulicas aumenta considerablemente
la utilidad de la teoría, haciendo posible
el evitar las ondas de rollo en la etapa de diseño.
APÉNDICE
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Dooge, J. C. I. 1973.
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