El método de Penman-Monteith

Victor M. Ponce

26 Junio 2014



Resumen. El método de combinación de Penman-Monteith para el cálculo de la evaporación es revisado y aclarado.

A diferencia del modelo original de Penman, en el modelo de Penman-Monteith se calcula la tasa de evaporación de transferencia de masa con base en principios físicos.

Se elabora un ejemplo ilustrativo para mostrar el procedimiento de cálculo. Un cálculo en línea usando ONLINE PENMAN da el misma resultado.


1.  Penman model

El modelo original de Penman es un método de combinación en la que se calcula la tasa de evaporación total usando una ponderación de la tasa de evaporación debida a la radiación neta y la tasa de evaporación debida a la transferencia de masa, de la siguiente manera (Ponce, 1989):

             Δ En  +  γ Ea
E  =   __________________ 
                   Δ  +  γ
(1)

en la cual E = tasa de evaporación total; En = evaporación debida a radiación neta; Ea = evaporación debida a transferencia de masa; Δ = gradiente de presión de vapor de saturación, que varía con la temperatura del aire; y γ = constante psicrométrica, la cual varía ligeramente con la temperatura.

En la Ecuación 1, la evaporación de transferencia de masa se calcula con una fórmula empírica de transferencia de masa.


2.  Modelo de Penman-Monteith

A diferencia del modelo original de Penman (Ec. 1), en el modelo de Penman-Monteith la tasa de evaporación de transferencia de masa Ea se calcula sobre la base de principios físicos.

La ecuación original de Penman-Monteith, en unidades consistentes es:

                 Δ H  +  ρa cp (es  -  ea) ra-1
ρλE  =   ______________________________ 
                                Δ  +  γ*
(2)

en la cual

  • ρλE = flujo de energía total por evaporación, en cal cm-2 s-1;

  • Δ = gradiente de presión de vapor de saturación, en mb °C-1;

  • H = flujo de energía suministrada externamente, por radiación neta, en cal cm-2 s-1;

  • ρa = densidad del aire húmedo, en gr cm-3;

  • cp = calor específico del aire húmedo, en cal gr-1 °C-1;

  • (es  -  ea) = déficit de presión de vapor, en mb;

  • ra = resistencia externa (aerodinámica), en s cm-1; and

  • γ* = constante psicrométrica modificada, en mb °C-1, igual a:

                               rs
    γ*  =   γ ( 1  +  _____  )
                               ra
    (3)

    en la cual

  • γ = constante psicrométrica, en mb °C-1, la cual varía ligeramente con la temperatura, y

  • rs = resistencia interna (estomatal o de superficie), en s cm-1.

La cantidad ra-1 es la conductancia externa, en cm3 de aire por cm2 de superficie por segundo (cm s-1).

En unidades de tasa de evaporación, la Ecuación 2 se expresa de la siguiente manera:

               Δ En  +  ρa cp (es  -  ea) ra-1 ρ-1 λ-1
E  =   _________________________________________ 
                                    Δ  +  γ*
(4)

en la cual

  • E = tasa total de evaporación, en cm s-1;

  • En = tasa de evaporación debida a la radiación neta, en cm s-1;

  • ρ = densidad del agua, en gr cm-3;

  • λ = calor de vaporización del agua, en cal gr-1;

    y

  • Δ, γ*, ρa, cp, (es  -  ea), y ra están en las mismas unidades que en la Ecuación 2.

La Ecuación 4 es el modelo de evaporación de Penman-Monteith.


3.  Constantes físicas

La densidad del aire seco a nivel del mar es: ρad = 1.2929 kg/m3. La densidad del aire húmedo se puede aproximar de la siguiente manera:

                         273
ρa  =   ρad ( __________  )
                      273 + T
(5)

en la cual T = temperatura del aire, en °C.

Por ejemplo, a T = 20°C y al nivel del mar (presión atmosférica estándar):

ρa = 0.0012046 gr cm-3.

El calor específico del aire húmedo, en el intervalo 0°C ≤ T ≤ 40°C, es:

cp = 1.005 J gr-1 °C-1

La conversión en calorías es:

cp = (1.005 J gr-1 °C-1) (0.239 cal/J) = 0.2402 cal gr-1 °C-1.


4.  Tasa de evaporación diaria

En unidades de evaporación de cm d-1, la Ec. 4 se expresa de la siguiente manera:

               Δ En  +  86400 ρa cp (es  -  ea) ra-1 ρ-1 λ-1
E  =   _________________________________________________ 
                                           Δ  +  γ*
(6)

en la cual

  • E = tasa total de evaporación (cm d-1);

  • En = tasa de evaporación debida a la radiación neta (cm d-1); y

  • Δ, γ*, ρa, cp, (es  -  ea), ra, ρ, y λ están en las mismas unidades que las Ecuaciones 2 y 4.

La Ecuación 6 se puede expresar convenientemente en forma de Penman (Ecuación 1) como sigue:

             Δ En  +  γ* Ea
E  =   __________________ 
                   Δ  +  γ*
(7)

en la cual Ea = tasa de evaporación debida a transferencia de masa, en cm d-1:


5.  Tasa de evaporación debida a transferencia de masa

Comparando las Ecuaciones 6 y 7, se obtiene la tasa de evaporación debida a transferencia de masa:

                86400 ρa cp (es  -  ea)
Ea  =   ___________________________ 
                     ρ λ γ (ra  +  rs)
(8)

Simplificando la Ecuación 8:

                K  (es  -  ea)
Ea  =   ___________________ 
                    ra  +  rs
(9)

en la que K = una constante que varía con la temperatura del aire y la presión atmosférica, en unidades de s d-1 mb-1, expresada de la siguiente manera:

              86400 ρa cp
K  =   _________________ 
                    ρ λ γ
(10)

En la Ecuación 10, las unidades de ρa, cp, ρ, λ, y γ son las mismas que en las Ecuaciones 2 y 4.

La constante psicrométrica γ, en mb °C-1, es:

            cp p
γ  =  __________ 
            λ rMW
(11)

en la cual cp = calor específico del aire húmedo, en cal gr-1 °C-1; p = presión atmosférica, en mb; λ = calor de vaporización del agua, en cal gr-1; y rMW = relación del peso molecular de vapor de agua al aire seco: rMW = 0.622.

Sustituyendo la Ecuación 11 en la Ecuación 10:

              86400 ρa rMW
K  =   __________________ 
                      ρ p
(12)

en la cual la constante K permanece en unidades de s d-1 mb-1.

Reemplazando rMW = 0.622 en la Ecuación 12:

              53740.8 ρa
K  =   ________________ 
                    ρ p
(13)

en la cual la constante K permanece en unidades de s d-1 mb-1.

A T = 20°C y a la presión atmosférica normal (nivel del mar): ρa = 0.0012046 gr cm-3, ρ = 0.99821 gr cm-3, y p = 1013.25 mb. Por lo tanto, la constante K en la Ecuación 13 se reduce a: K = 0.064 s d-1 mb-1, y la Ecuación 9 se reduce a:

               0.064  (es  -  ea)
Ea  =   _____________________ 
                       ra  +  rs
(14)

en la cual

  • Ea = tasa de evaporación por transferencia de masa , en cm d-1;

  • (es  -  ea) = déficit de presión de vapor, en mb;

  • ra = resistencia externa (aerodinámica), en s cm-1; y

  • rs = resistencia interna (estomatal), en s cm-1.

6.  Resistencia externa

La resistencia externa (o aerodinámica) ra varía con la rugosidad de la superficie (agua, suelo o vegetación), siendo inversamente proporcional a la velocidad del viento.

En otras palabras, la conductancia externa (y por lo tanto, la tasa de evaporación) aumenta con la velocidad del viento, como fue postulado por Dalton (Ponce, 1989).

La resistencia externa para la evaporación del agua se puede estimar de la siguiente manera:

              4.72 [ ln (zm / zo) ] 2
ra  =   ________________________ 
                  1  +  0.536 v2
(15)

en la cual

  • ra = resistencia externa, en s m-1;

  • zm = altura a la cual se miden las variables meteorológicas, en m;

  • zo = rugosidad de la superficie aerodinámica, en m; y

  • v2 = velocidad del viento, en m s-1, medida a 2 m de altura.

La resistencia externa ra (s m-1) para el cultivo de referencia (pasto recortado a 0.12 m de altura), para las mediciones de velocidad del viento (m s-1), temperatura y humedad a una altura normalizada de 2 m es:

               208
rarc  =   _______ 
                v2
(16)

Por ejemplo, para v2 = 200 km d-1 = 200000 m / 86400 s = 2.3148 m s-1, la resistencia externa o aerodinámica del cultivo de referencia es:

                  208
rarc  =   ___________   =  89.85 s m-1 = 0.8985 s cm-1.
                2.3148
(17)


7.  Resistencia interna

La resistencia interna (estomatal o de superficie) rs es inversamente proporcional al índice de área foliar L, es decir, al área proyectada de la vegetación por unidad de superficie. Una relación empírica es:

             200
rs  =   _______ 
              L
(18)

en la cual rs  es en s m-1 y L es en m s-1.

El índice de área foliar L está empíricamente relacionada con la altura del cultivo hc.

Índice de área foliar para la hierba cortada

L = 24 hc, en la cual la altura del cultivo hc es en m, que varía en el rango 0.05 ≤ hc ≤ 0.15.

De la Ecuación 18, la resistencia estomática del cultivo de referencia (pasto recortado a 0.12 m de altura) es:

rsrc = 69.4 s m-1 = 0.694 s cm-1

Índice de área foliar de alfalfa

L = 5.5 + 1.5 ln (hc), en la cual la altura del cultivo hc es en m, que varía en el rango 0.1 ≤ hc ≤ 0.5.

De la Ecuación 18, la resistencia de los estomas de un cultivo de alfalfa, con hc = 0.3 m:

rs = 54.1 s m-1 = 0.541 s cm-1


Ejemplo ilustrativo


Calcular la tasa de evaporación del cultivo de referencia mediante el método de Penman-Monteith para el mes de abril, para las siguientes condiciones atmosféricas: temperatura del aire Ta = 20°C; radiación neta Qn = 550 cal cm-2 d-1; velocidad del viento (a 2 m por encima de la superficie) v2 = 200 km d-1; y humedad relativa φ = 70%. Asumir la presión atmosférica normal.


Solución.

  • El gradiente de presión de vapor de saturación es:

    Δ = (0.00815 Ta  +  0.8912)7 = 1.447 mb °C-1.

  • La radiación neta en unidades de evaporación es:

    En = Qn / (ρ λ) = 550 / (0.99821 × 586) = 0.9402 cm/d.

  • Usando la Ecuación 16, la resistencia externa del cultivo de referencia es:

    rarc = (208 × 86400)/(200 × 1000) = 89.85 s m-1 = 0.8985 s cm-1.

  • La resistencia interna del cultivo de referencia es:

    rsrc = 69.4 s m-1 = 0.694 s cm-1.

  • De la Ecuación 11, la constante psicrométrica:

    γ = (0.2402 × 1013.25 ) / (586 × 0.622) = 0.6677.

  • De la Ecuación 3, la constante psicrométrica modificada es:

    γ* = 0.6677 [1 + (0.694 / 0.8985)] = 1.183.

  • El déficit de presión de vapor es:

    (es - ea) ≅ (eo - ea) = eo [ 1 - (φ / 100) ] = 23.37 [ 1 - (70 / 100)] = 7.01 mb.

  • De la Ecuación 14, la tasa de evaporación de transferencia de masa es:

    Ea = ( 0.064 × 7.01 ) / (0.8985 + 0.694) = 0.2817 cm d-1.

  • De la Ecuación 7, la tasa de evaporación total es:

    E = [ ( 1.447 × 0.9402 ) + ( 1.183 × 0.2817 ) ] / ( 1.447 + 1.183 ) = 0.644 cm d-1.

  • La velocidad de evaporación mensual (abril) es: E = 30 × 0.644 = 19.32 cm.

calculator image

CÁLCULOS ENLINEA. Utilizando ENLINEA PENMAN MONTEITH, la respuesta es: cultivo de referencia diaria PET = 0.644 cm d-1; cultivo de referencia mensual PET (April) = 19.32 cm. Estos resultados son los mismos que el cálculo manual que se muestra arriba.



Referencia

Ponce, V. M. 1989. Engineering Hydrology: Principles and Practices. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.


140627 07:00